yukicoder No.951 【本日限定】１枚頼むともう１枚無料！

yukicoder DP

https://yukicoder.me/problems/no/951

問題概要

N枚のピザがあり、ピザには値段Pi円と美味しさDiがそれぞれ設定されている。またピザを1枚買うたび、そのピザ以下の値段のピザを1枚無料で買うことができる。K円まで使えるとき、買ったピザの美味しさの総和としてありえる最大値を求めよ。

N, K, Di <= 5000

Pi <= K

解法

いかにもDPでナップサックしてくださいという見た目だが、単純なやり方ではタダ券の処理が難しい。たとえば高い順に見ていってタダ券が何個余っているかをDPのキーに含めようとすると、キーが【何番目まで見た, 何円使った, 何個余ってる】で最悪50003になってしまう。しかしここで「買い物が終わったあとの最終的な形」について思いを馳せると、買う商品を固定した場合、高い順に「買う→タダにする→買う→タダにする」を交互にやるのがもっとも安く済む方法である。というわけで実は高い順に見ていったとき「タダ券を持っているなら次の買い物で即使う」のが最適であるので、DPのキーには「タダ券がある・ない」の2値を含めるだけで十分である。

DP[i][j][k] = （あらかじめ商品を値段の高い順にソートしたとき）i番目の商品まで見て、j円使っていて、タダ券がk枚（k=0, 1）あるときの得られる美味しさの総和の最大値

このDPは状態数がO(NK)で遷移は買う・買わないの2通りのO(1)となるので計算量はO(NK).

感想

雑な一般論だが、DPしたいけど状態が多すぎるというとき実はある一部分が貪欲に処理できるので状態数を減らせるというパターンは結構あって、この問題のような「最終形を想像すると最適な操作や並び順が固定できる」というのもその類型のひとつというような印象がある（この間のABCでも似たようなやつがあった）

コード (D言語)

import std.stdio, std.array, std.string, std.conv, std.algorithm;
import std.typecons, std.range, std.random, std.math, std.container;
import std.numeric, std.bigint, core.bitop;

void main() {
    auto s = readln.split.map!(to!int);
    auto N = s[0];
    auto M = s[1];
    auto A = iota(N).map!(_ => readln.split.map!(to!int).array).array;
    A.sort!"a[0] > b[0]";

    auto dp = new int[][][](2, M+1, 2);
    foreach (i; 0..2) foreach (j; 0..M+1) dp[i][j][1] = -(1 << 29);

    int cur = 0;
    int tar = 1;

    foreach (i; 0..N) {
        int p = A[i][0];
        int d = A[i][1];
        foreach (j; 0..M+1) {
            dp[tar][j][0] = 0;
            dp[tar][j][1] = -(1 << 29);
        }
        foreach (j; 0..M+1) {
            dp[tar][j][0] = max(dp[tar][j][0], dp[cur][j][0]);
            dp[tar][j][1] = max(dp[tar][j][1], dp[cur][j][1]);
            if (p + j <= M) dp[tar][j+p][1] = max(dp[tar][j+p][1], dp[cur][j][0] + d);
            dp[tar][j][0] = max(dp[tar][j][0], dp[cur][j][1] + d);
        }
        swap(cur, tar);
    }

    int ans = 0;
    foreach (j; 0..M+1) foreach (k; 0..2) ans = max(ans, dp[cur][j][k]);
    ans.writeln;
}