yukicoder No.127 門松もどき

問題概要

N要素の正整数列Aが与えられる。Aの部分列で門松もどきであるようなものの最大の長さを求めよ。ただし門松もどきとは 各要素の大きさが「左端→右端→左から2番目→右から2番目→...」で昇順になっているもの、または「右端→左端→右から2番目→左から2番目→...」で昇順になっているものをいう。

N <= 2000

解法

DPを2つ持って区間DPをする。

  • dp_left(l, r): 最も小さい要素がA[l]で、右端の位置がr以下であるような最長の門松もどきの長さ
  • dp_right(l, r): 最も小さい要素がA[r]で、左端の位置がl以上であるような最長の門松もどきの長さ

要するに最小の要素を固定した区間DPをする。このとき例えばdp_left(l, r)は A[l] < A[r] であるとき dp_right(l+1, r) + 1 を値にとることができる。どういうことかというとA[r] が最小であるような[l+1, r]の範囲の門松もどきに対して、その左にそれより小さいA[l]をくっつけるというイメージである。

門松もどきが伸びるのはこのパターンだけなので、あとは含む区間の最大値を引き継ぐようにすればいい。全体でO(N2).

感想

右が一番小さいやつにそれより小さい左をくっつければいいっていうの確かにそうなんだけど思いつかなかった

ていうかこれもしかして左最小あるいは右最小の片方だけの問題にすると誘導がなくなってむしろ難しくなるんですかね?

コード (D言語)

import std.stdio, std.array, std.string, std.conv, std.algorithm;
import std.typecons, std.range, std.random, std.math, std.container;
import std.numeric, std.bigint, core.bitop, std.bitmanip;

immutable long MOD = 10^^9 + 7;

void main() {
    auto N = readln.chomp.to!int;
    auto A = readln.split.map!(to!int).array;

    auto dp1 = new int[][](N, N);
    auto dp2 = new int[][](N, N);
    foreach (i; 0..N) dp1[i][i] = dp2[i][i] = 1;

    foreach (len; 2..N+1) {
        foreach (l; 0..N-len+1) {
            int r = l + len - 1;
            dp1[l][r] = dp1[l][r-1];
            if (A[l] < A[r]) dp1[l][r] = max(dp1[l][r], dp2[l+1][r] + 1);
            dp2[l][r] = dp2[l+1][r];
            if (A[l] > A[r]) dp2[l][r] = max(dp2[l][r], dp1[l][r-1] + 1);
        } 
    }

    int ans = 0;
    foreach (i; 0..N) foreach (j; 0..N) ans = max(ans, dp1[i][j], dp2[i][j]);
    ans.writeln;
}